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彭罗斯与黑洞

- 卢昌海 -

2020 年 10 月 6 日，瑞典皇家科学院 (The Royal Swedish Academy of Sciences) 宣布了 2020 年诺贝尔物理学奖的得主。英国数学物理学家罗杰·彭罗斯 (Roger Penrose) 由于 “发现黑洞的形成是广义相对论的坚实预言” (for the discovery that black hole formation is a robust prediction of the general theory of relativity) 获得了一半奖金；德国天体物理学家赖因哈德·根策尔 (Reinhard Genzel) 和美国天文学家安德烈娅·盖兹 (Andrea Ghez) 则由于 “在我们星系中心发现超大质量致密天体” (for the discovery of a supermassive compact object at the centre of our galaxy) 分享了另一半奖金。

这两项获奖研究都是关于黑洞的，前者是纯理论研究，后者是观测，可谓相得益彰。在本文中，我们将对前者作一个简短介绍。

作为背景，我们先介绍一下 “黑洞” (black hole) 这个概念。这个概念的起源常被回溯到英国地质学家约翰·米歇尔 (John Michell)。 1783 年，米歇尔在牛顿万有引力定律的基础上得到了一个如今中学生也能推导得出的结果，即一个密度跟太阳一样的星球若直径比太阳大几百倍，引力就会强大到连光也无法从它的表面逃逸 (从而看上去将是 “黑” 的)。 1796 年，法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace) 也得到了同样结果。这些结果通常被视为黑洞概念的萌芽。

不过，米歇尔和拉普拉斯的黑洞跟我们如今所说的广义相对论中的黑洞除在 “半径” 这一参数上恰好相同外[注一]，其实鲜有共同之处。比方说，前者的 “黑” 只是光无法逃逸到远处，但在近处仍可看到，后者则不然；甚至就连所谓 “恰好相同” 的 “半径” 这一参数，彼此的含义也完全不同，前者是从黑洞中心到表面的距离，后者则不具有这样的意义，而只是视界 (下文将会介绍这一概念) 周长除以 2π 的简称 (这在广义相对论中跟前者不是一回事)。至于各种微妙得多的其他特性，则更是广义相对论中的黑洞 (以下将简称为 “黑洞”) 所独有的[注二]。因此，彭罗斯就曾说过， “黑洞的概念实际上只能从广义相对论的特殊性质里得出，而并不出现在牛顿理论中。”

那么，黑洞的概念是如何 “从广义相对论的特殊性质里得出” 的呢？这得回溯到 1916 年 1 月。那时距爱因斯坦提出广义相对论虽才不到两个月，一位名叫卡尔·施瓦西 (Karl Schwarzschild) 的德国物理学家就得到了广义相对论的一个严格解——如今被称为施瓦西解。

施瓦西解描述的是一种球对称的时空，它有两个非常引人注目的特点——都表现为 “0” 出现在分母上，从而使数学表达式失去意义：其中一个出现在球对称的中心处，另一个则出现在一个球面上，这个球面的半径被称为 “施瓦西半径” (Schwarzschild radius)。在经过很长时间的研究后，物理学家们才逐渐理解了这两个特点的真正含义：其中前者被称为 “奇点” (singularity)，具有诸如时空无限弯曲之类的 “病态” 性质，并且会让物理定律失效[注三]；后者则被称为 “事件视界” (event horizon)，简称 “视界” (horizon)，它虽然一度也被视为奇点，实际上却只是施瓦西所用的特定坐标的缺陷。

奇点和视界是黑洞的两个主要特征，因此施瓦西解的问世在一定意义上可视为广义相对论对黑洞的最早预言。但这种预言只说明了广义相对论原则上可以描述黑洞的主要特征，可以允许奇点和视界那样的东西，却并不能告诉我们实际上是否会有任何物理过程真正产生出那样的东西。如果没有，则所谓 “原则上可以” 依然不过是镜花水月。

那么，实际上到底有没有什么物理过程能产生黑洞呢？ 1939 年，美国物理学家罗伯特·奥本海默 (J. Robert Oppenheimer) 及其学生哈特兰·辛德 (Hartland Snyder) 的一项研究向着回答这一问题迈出了重要一步。奥本海默和辛德研究了恒星在耗尽核燃料 (从而不再有辐射压来抗衡引力) 之后的坍塌过程，结果发现，对远方的观测者来说，当恒星坍塌到接近视界时，从恒星表面发出的光的波长会变得越来越长，坍塌过程会显得越来越慢，直至 “冻结”。由于这个奇异的效应，黑洞有一个早期的名字叫作 “冻结星” (frozen star)。但这个效应并不说明黑洞无法形成，而只是如同一盒放了一半就慢慢停下的录像带，使人无法看到结局，却并不意味着结局没有发生[注四]。更何况，奥本海默和辛德同时还发现，对跟随恒星一同坍塌的观测者来说，坍塌会毫不停滞地穿越视界，并且在有限时间内产生奇点，从而显示出黑洞是可以形成的[注五]。

有了这些研究，是不是可以认为黑洞的形成已经是广义相对论的预言了呢？还不能。因为无论施瓦西解还是奥本海默和辛德的研究，都依赖于一个在现实世界里无法严格实现的对称性——球对称性。更糟糕的是，由于广义相对论是一个非常复杂的理论，对称性对当时几乎所有的同类研究都是必不可少的。比如新西兰数学家罗伊·克尔 (Roy Kerr) 于 1963 年得到了广义相对论的一个描述旋转黑洞的解——被称为克尔解 (Kerr solution)，这个解比施瓦西解普遍得多，却也依赖于一种对称性——轴对称性。虽然恒星大都接近轴对称甚至球对称，却绝不可能是严格轴对称或球对称的。类似地，广义相对论的很多宇宙学解也依赖于对称性——比如均匀及各向同性。这些对称性在现实世界里都是无法严格实现的。

通常来说，物理学家们是不会在对称性无法严格实现这一点上吹毛求疵的，因为对称性是他们研究现实世界最有力的工具，说是朋友亦不为过。但黑洞的形成是一个例外，因为如前所述，黑洞的主要特征之一乃是奇点，而奇点会让物理定律失效。由于物理定律是物理学家们的 “吃饭家什”，面对物理定律失效那样的严重后果，就连对称性这位朋友也变得可以舍弃了。因此，很多物理学家将问题归因于对称性，认为奇点是不存在的，所有貌似能产生奇点和黑洞的过程都是因为引进了对称性，只要舍弃对称性，奇点和黑洞就能被 “消灭”——即不会形成。持这种观点的代表人物是苏联物理学家 E. M. 栗弗席兹 (E. M. Lifshitz) 和 I. M. 卡拉特尼科夫 (I. M. Khalatnikov) 等人——姑称之为 “苏联学派”。

20 世纪 60 年代初， “苏联学派” 在舍弃对称性的情形下对广义相对论进行了深入研究，试图证明奇点不会形成。他们甚至一度以为自己完成了证明，将之写入了列夫·朗道 (Lev Landau) 与栗弗席兹合撰的名著《理论物理教程》 (Course of Theoretical Physics) 中。而自施瓦西解问世以来，出于其他种种考虑对奇点和黑洞的存在持怀疑态度的物理学家则为数更多，其中包括了爱因斯坦本人[注六]。